מילוי מכל – מנה מתוך יחס בין סכומיםסדרות 571 · שיעור 18
סדרות · שאלון 571
שיעור 18: מילוי מכל – מנה מתוך יחס בין סכומים
פרק 4 – סדרה הנדסית
1נוסח השאלה
2מציאת המנה
3נפח המכל
📄 נוסח השאלה
מכל מים מתמלא ב־5 שעות. היחס בין כמות המים הזורמת למכל כל שעה ובין כמות המים שזרמה אליו בשעה הקודמת הוא q.
במשך 2 השעות הראשונות זרמו למכל 48 מ"ק מים, ובמשך 4 השעות הראשונות זרמה למכל כמות מים הגדולה פי 2 מכמות המים שזרמה למכל במשך 4 השעות האחרונות.
מצאו את נפח המכל.
מציאת המנה
an = כמות המים בשעה ה־n. היחס קבוע ← סדרה הנדסית עם 5 איברים.
4 השעות האחרונות הן a2 + a3 + a4 + a5. כל אחד מהם הוא פי q מהאיבר שלפניו, ולכן:
a2 + a3 + a4 + a5 = q(a1 + a2 + a3 + a4) = q · S4
נתון: 4 הראשונות פי 2 מ־4 האחרונות:
S4 = 2 · q · S4
מחלקים ב־S4 (הוא חיובי):
מציאת המנה · המשך
מחלקים ב־S4 (הוא חיובי):
1 = 2q
q = 12
✅ פתרון סופי: q = 12
נפח המכל
2 השעות הראשונות: a1 + a2 = 48:
a1 + a1 · 12 = 48
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
1.5a1 = 48
a1 = 32
נפח המכל = כל המים שזרמו ב־5 השעות:
S5 = 32((12)5 − 1)12 − 1
📐 סכום בסדרה הנדסית
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
an = a1 · qn − 1
📐 סכום בסדרה הנדסית
Sn = a1(qn − 1)q − 1 , q ≠ 1
נפח המכל · המשך
S5 = 32((12)5 − 1)12 − 1
📐 סכום בסדרה הנדסית
= 32(132 − 1)−12 = 1 − 32−12 = −31−12 = 62
בדיקה: הכמויות: 32 , 16 , 8 , 4 , 2 , סכום 62 ; 4 ראשונות 60 , 4 אחרונות 30 ✓
✅ פתרון סופי: 62 מ"ק
📐 סכום בסדרה הנדסית
Sn = a1(qn − 1)q − 1 , q ≠ 1
📌 סיכום התשובות
המנה
q = 12
נפח המכל
62 מ"ק
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא